و
با توجه به نگاشت‌های منبع و هدف گروه‌وار داریم:
و
همچنین داریم:
گزاره ۲-۱۳٫ اگر یک ریخت بین گروه‌وارهای و باشد، آن‌گاه:

1. 1. 1. برای هر،.

   

1. 1. برای هر، .

برهان قسمت۱-
ابتدا نشان می‌دهیم برای ، . از آن‌جا که نگاشت پوشاست، موجود است که . بنابراین
پس
قرار می‌دهیم، و =. در این‌صورت داریم:
بنابراین طبق گزاره۲-۳ قسمت ۱ ، . یعنی.
برهان قسمت۲-
قرار می‌دهیمو. داریم:
و
در نتیجه طبق گزاره ۲-۳ قسمت۴،. یعنی.■
تعریف ۲-۱۴٫ ریخت پوششی گروه‌وارها
فرض کنید و دو گروه‌وار باشند. اگر برای هر ، تحدید یعنی دوسویی باشد، ریخت از گروه‌وارها، یک ریخت پوششی نامیده می‌شود.
تعریف ۲-۱۵٫ ریخت پوششی منظم
فرض کنید و دو گروه‌وار باشند. اگر برای تمام اشیاء از و تمام عناصر ، همه‌ی عناصر طوقه باشند یا هیچکدام طوقه نباشد، ریخت پوششی از گروه‌وارها را منظم می‌نامیم.
تعریف ۲-۱۶٫ گروه مشخصه
فرض کنیدیک ریخت از گروه‌وارها باشد. برای یک شئ ، زیرگروه از گروه مشخصه ی درنامیده می‌شود.
نتیجه ۲-۱۷٫ اگر ریخت پوششی باشد، آن‌گاه ،را به ‌طور یکریخت بهمی‌نگارد.
برهان. چون یک ریخت پوششی است پسدوسویی است. اگررا بهتحدید کنیم،یک نگاشت دوسویی است. از طرفی چون عمل گروه شی‌ای را همان عمل گروه‌وار تعریف می‌کنیم ونیز یک ریخت گروه‌واری است پس، یعنیهمریختی گروهی نیز می‌باشد. بنابراین یک همریختی یک‌به‌یک و پوشاست، پس یکریختی می‌باشد.
تعریف ۲-۱۸٫ ریخت پوششی جهانی
فرض کنید و دو گروه‌وار باشند. اگر هرپوشش را بپوشاند، یعنی اگر برای هر ریخت پوششی یک ریخت پوششی یکتایازگروه‌وارها موجود باشد به‌‌طوری‌که، آن‌گاه ریخت پوششی از گروه‌وارهای متعدی، ریخت پوششی جهانی نامیده می‌شود.
تعریف ۲-۱۹٫ زیرگروه‌وار
یک زیرگره‌وار از گروه‌وار یک جفت از زیرمجموعه‌ها می‌باشد که ، و شرایط زیر برقرار باشد:
۱-، و
۲- برای هراگر تعریف شده باشد، آن‌گاه . یعنیتحت عمل ترکیب بسته باشد.
۳- برای هر ،باشد.
مثال ۲-۲۰٫اگر یک گروه‌وار باشد، مجموعه‌ییک زیر گروه‌وار از رویمی‌باشد، زیرا
بنابراین
۱-
و همچنین داریم:
و
۲- فرض کنیدوتعریف شده باشد. در این‌صورت داریم:
بنابراین ، پس .
درنتیجه
۳- فرض کنید، داریم:
با قرار دادن و، طبق گزاره۲-۳،قسمت۴، چون=
بنابراین . لذا .
هموتوپی مسیرها در گروه‌وار:
هموتوپی بین دو مسیر در گروه‌وار به دو دسته تقسیم می‌شود: