برای دستیابی به این هدف ارزشمند عبارت‌های «ریاضیات برای همه»، «ریاضیات در راه توسعه» به مثابه‌ی شعارهای اصلی سال جهانی ریاضیات اعلام شد. (فرزان، ۱۳۷۹، پشت جلد)

امروزه در وضعیتی زندگی می‌کنیم که باید آن را دست کم تناقض آمیز خواند. ریاضیات ابزاری بی بدیل در شکل گیری دقت و استدلال است و نیروی شهود، قدرت تخیل و روحیه‌ی نقاد را پرو بال می‌دهد؛ ریاضیات، زبانی مشترک بین ملت‌ها و عنصری پر قدرت در فرهنگ است. … و اما ریاضیات برای اکثر شهروندان ما معنایی ندارد و آنان از این امر کاملاً ناآگاهند. گاهی عده ای، از جمله برخی از مسئولان بلند پایه، با لحنی بی پروا فخر فروشانه اقرار می‌کند که «از ریاضی هیچ نمی‌دانند» و یا مفید بودن ریاضی را انکار می‌کنند. (شادمان، ۱۳۸۹، ۱۷)
در جامعه‌ی کنونی خوب زیستن نیازمند توانایی‌های انتخاب گری، استدلال، تصمیم‌گیری و حل مسئله است. آموزش و پرورش رسالتی بزرگ در ایجاد چنین توانایی‌هایی دارد. از دیدگاه برنامه ریزان، ریاضیات یکی از مواد درسی است که آموزش و فراگیری آن در جهت انجام دادن چنین رسالتی، ضروری است. پرورش قدرت تفکر و خلاقیت حداقل انتظاری است که از آموزش ریاضی مد نظر است.(صمدی، ۱۳۸۰، ۸۰)
۳-۳٫ در باب ریاضیات و واقعیت
چگونه است که ریاضیات، که نتیجه‌ی تفکر انسان و مستقل از تجربه است، می‌تواند به این تحسین برانگیزی راجع به اشیاء واقعی باشد؟ آیا عقل بشر، بدون تجربه، و با اندیشه‌ی صرف، قادر است به خواص اشیای واقعی پی برد؟ آلبرت اینشتاین
یکی از پرسش‌های همیشگی در ریاضیات رابطه‌ی اسرار آمیز ریاضیات و واقعیت بوده است. چگونه است که با تفکر محض در گوشه‌ای از اتاق می‌توان به گزاره‌هایی دست یافت که بر سرتاسر پهنه‌ی گیتی حاکم اند؟ اگر ریاضیات مبتنی بر تجربه است، پس یقین و ضرورت آن از کجا می‌آید؟ و اگر مستقل از تجربه است ارتباط آن با طبیعت چه می‌شود؟ این ویژگی اسرار آمیز ریاضیات در طول تاریخ انگیزه‌ای بوده است تا فلاسفه‌ی زیادی گمان کنند می‌توان با نشستن در گوشه‌ای و تأمل محض به معرفت ضروری و یقینی در مورد عالم دست یافت؛ و همین امر سرنوشت ریاضیات و فلسفه را البته به نفع فلسفه و دیدگاه‌های عقل گرایانه به هم گره زده بود.
در کنار این پرسش‌های همیشگی از درون خود ریاضیات نیز، به ویژه در قرن بیستم، مسائلی رخ داد که در بسیاری از افراد آشنا با ریاضیات دغدغه‌ی رابطه‌ی ریاضیات و واقعیت را برانگیخت. (فتح زاده، ۵۳،۱۳۸۹)
۳-۴٫ ریاضیات بستری مناسب جهت تقویت مهارت تفکر نقادانه
تحولات پیوسته‌ی علوم و تکنولوژی، تغییرات سریع در الگوهای سنتی زندگی و تنوع افکار، گرایش‌ها و اطلاعات، شرایطی را فراهم آورده که زندگی در عصر حاضر را بسیار پیچیده کرده است. زندگی در چنین شرایطی مستلزم درک بهتر دیگران، اجتماعی فکر کردن و در حیطه‌ای گسترده تر، شناخت بهتر جهان است. در این عصر، همگی نیازمند تفاهم متقابل، سعه‌ی صدر و بردباری در مقابل نظرات مخالف و ارزیابی و قضاوت صحیح آن‌ ها هستیم. در حقیقت برای موفقیت بیشتر، فراتر از نوعی هم زیستی بردبارانه، نیازمند همکاری فعال با یکدیگر می‌باشیم.
از طرفی تحقیقات انجمن‌های علمی، بین المللی (NECET)^[1] نشان دهنده‌ی آن است که: «هرچه در مراحل سنی پایین تر، حساسیت ذهنی کودکان را نسبت به ملاک‌های استاندارد تفکر و تعقل منطقی و صحیح برانگیزانیم، روش‌ها و نگرش‌های عقلانی مورد نظر، در آن‌ ها بهتر توسعه یافته و به افراد آزاد اندیشی تبدیل می‌شوند که در مقابل مسایل عقلانی از خود واکنش نشان خواهند داد».
بنابراین ریاضیات می‌تواند کمک به فراگیران باشد تا آن‌ ها یاد بگیرند خوب فکر کنند، جریان تفکر خود و دیگران را نقد و تحلیل کنند. دلیل بیاورند و در نهایت مسأله‌ی مورد نظر خود را حل کنند. در حقیقت در آن‌ ها «انگیزه‌ی خوب فکر کردن» ایجاد می‌کند.
این در حالی است که افراد در زندگی روزانه به چنین مهارت‌هایی یعنی تفکر نقادانه، استدلال و اثبات زباد نیازمندند. از ساده‌ترین ‌خریدهای روزانه گرفته تا در مسایل مهم‌تری چون تصمیمات سیاسی، اقتصادی، اجتماعی و … نیاز به چنین مهات‌هایی حس می‌شود. انسان‌ها باید یاد بگیرند که در تصمیم گیری‌های اساسی ای چون انتخابات، تصمیم‌های منطقی و آگاهانه بگیرند و بتوانند دلایل کافی برای انتخاب‌های خود ارائه کنند.
مجله‌ی «دنیای کار در آینده» ^[۲] پیش بینی می‌کند که بیشترین رشد شغلی در آینده برای مناطقی خواهد بود که متقاضی مهارت‌های سطح بالای تفکر هستند.
از طرفی علم ریاضیات یکی از بهترین دانش‌ها برای توسعه‌ی چنین مهارت‌هایی است و به همین دلیل است که رأس، یکی از مهمترین اهداف تدریس ریاضیات را، آموزش استدلال منطقی^[۳] به دانش‌آموزان می‌داند. به اعتقاد او استدلال، تنها یک مهارت ریاضی نیست، بلکه مهارتی بنیادی است و به همین جهت تأکید می‌کند که «معلم‌ها باید به ریاضی، به عنوان یک موضوع درسی زنده، مهیج و پر شور که نقش اساسی در آموزش مدرسه‌ای تک تک دانش‌آموزان دارد نگاه کنند. آن‌ ها باید به ماهیت نظری ریاضی که هم بسیاری از موقعیت‌ها را به صورت آرمانی تبدیل می‌کند و هم تفسیرهای کاربردی ای از مفاهیم مجرد می‌سازد، توجه کنند.»
بنابراین یک وظیفه‌ی اساسی آموزش ریاضیات مدرسه ای، آن است که شهروندانی با توانائی استدلالی مناسب تربیت کنند، تا در دنیای نمادین ریاضیات، دلایل و اثبات‌هایی قابل قبول ارائه کنند و در انتخاب‌های روزانه‌ی خود نیز موفق و مطمئن‌تر قدم بردارند.
۳-۴-۱٫ تفکر نقادانه
تفکر هر فرد، ماهیت رفتار او را تشکیل می‌دهد و کیفیت زندگی او و آن چه می‌سازد، خلق می‌کند یا تولید می‌کند نیز به چگونگی اندیشه‌ی او وابسته است. نوعی از تفکر، تفکر انتقادی یا نقادانه^[۴] می‌باشد. کلمه‌ی Critical از واژه‌ی یونانی Critic به معنی سئوال کردن، معنی دادن و تحلیل کردن گرفته شده است، که در واقع با بهره گرفتن از همین سه فرایند است که انسان‌ها افکار خود، دیگران و امور و پدیده‌های محیط اطرافشان را بررسی می‌کنند و تلاش می‌کنند بهترین تصمیم‌گیری‌ها را انجام دهند. کسانی که نقادانه می‌اندیشند، به همان نسبت می‌توانند سئوالات مناسب‌تر بپرسند و اطلاعات مربوط به هم را بهتر جمع آوری کنند، این اطلاعات را به طور صحیح‌تری دسته بندی نمایند، دلایل منطقی آن‌ ها را استخراج کنند و به نتایج بهتری دست یابند. علاوه بر این، آن‌ ها می‌توانند با بررسی مداوم و ماهرانه‌ی تفکرات خود، کیفیت تفکرشان را توسعه داده و بنابراین زندگی موفق‌تری را برای خود طرح ریزی کنند.
رابرت انیس، تفکر انتقادی را «تفکری مستدل و منطقی» می‌داند که «بر تصمیم‌گیری در مورد عقاید و اعمال متمرکز است» و پیامد آن، نتایج درست و منطقی است.
دیویی نیز ماهیت تفکر انتقادی را «بررسی دقیق، مداوم و فعال هر عقیده یا هر شکلی از دانش با توجه به دلایلی که آن عقیده را تأیید می‌کنند و نتایجی که از آن عقیده حاصل می‌شود» می‌داند.
و لیپ من^[۵]، تفکر انتقادی را «بازسازی، تجدیدنظر و بررسی دقیق افکار» معرفی می‌کند.
در واژه نامه‌ی روان شناختی، تفکر انتقادی، راهبردی شناختی ذکر شده است که کار فردی را از راه بازبینی و آزمودن راه حل‌های ممکن هدایت می‌کند.
بنابراین به طور خلاصه تفکر انتقادی فرآیندی است که به طور مؤثر روند تفکر را به کار می‌گیرد، تا به فرد کمک کند در مورد آن چه که اعتقاد دارد یا انجام می‌دهد، تصمیم سازی کند، تصمیم هایش را ارزیابی کرده و سپس آن‌ ها را به کار گیرد.
ریشه‌ی تاریخی این نوع تفکر نیز، بسیار قدیمی است و طبق گفته‌ی سایت NCECT، شاید بتوان اولین بار آن را ۲۵۰۰ سال قبل، در آموزش‌ها و دیدگاه‌های سقراط ردیابی کرد. سقراط با تحقیق‌های خود دریافت که بسیاری از مردم نمی‌توانند دلایل عقلانی ای برای ادعاهای علمی خود ارائه کنند و ثابت کرد که افراد ممکن است قدرت و جایگاه والایی داشته باشند، اما در عین حال بسیار غیر منطقی و سر در گم باشند. لازم به ذکر است که طبق ادعای سایت نامبرده، روش سئوال کردن او^[۶]، امروزه نیز به عنوان بهترین راهبرد جهت تدریس تفکر نقادانه شناخته می‌شود.
در ریاضیات، روش‌های استدلالی فراوانی به کار می‌رود.
۳-۴-۲٫ استدلال
افزایش توانایی استدلال یکی از اصولی است که از گذشته تاکنون مورد تأیید آموزشگران ریاضی بوده است. راس در این زمینه چنین می‌گوید: «اساس ریاضیات استدلال است و … اگر توانایی استدلال در دانش‌آموزی رشد نکرده باشد، ریاضیات برای او به مجموعه‌ای از رویه‌ها^[۷]و مثال‌های تکراری فاقد این که چرا چنین هستند، تبدیل می‌شود.»
در اصول و استانداردهای ریاضیات مدرسه‌ای، شورای ملی معلمان ریاضی آمریکا و کانادا (NCTM^[8])، از استدلال و اثبات به عنوان یکی از اصول اساسی آموزش ریاضیات مدرسه‌ای یاد می‌شود و آن را برای درک ریاضیات ضروری می‌دانند. آن‌ ها تأکید می‌کنند که دانش‌آموزان تا پایان پایه‌ی دوازدهم تحصیلی باید قادر باشند که:
- استدلال و اثبات را به عنوان یک جنبه‌ی اساسی ریاضیات بشناسند؛
- حدسیه‌های ریاضی ساخته و درستی آن‌ ها را تحقیق کنند؛
- ادعاها و اثبات‌های ریاضی را ساخته و ارزیابی کنند؛
- انواع مختلف استدلال و روش‌های اثبات را انتخاب کرده و به کارببرند.
۱- روش شهودی: این روش به درک شهودی و احساس وابسته بوده و استدلال در آن، متکی به حواس و غرایز افراد است. از این رو ممکن است اشخاص متفاوت، روش‌های مختلفی برای آن داشته باشند.
۲- روش استقرایی: که بر اساس آزمایش و تجربه است.
۳- روش تمثیل: که در حقیقت پیدا کردن نوعی مشابهت میان مفاهیم گوناگون است و می‌تواند در ایجاد زمینه‌های شهودی برای درک پدیده‌های ریاضی، مؤثر واقع شود.
۴- روش برهان خلف: که در واقع نوعی اثبات غیر مستقیم است.
۵- روش استنتاج منطقی: که در آن به کمک قوانین منطق ریاضی، از چند فرض درست، به نتیجه‌ای می‌رسیم که به اندازه‌ی همان فرض‌های درست، حتمی و مسلم هستند.
۳-۴-۳٫ اثبات
اثبات در لغت نامه‌ی دهخدا به معنی قرار دادن، درست کردن، نوشتن، پابرجا کردن و در حیطه‌ی فلسفی حکم کردن به ثبوت چیزی دیگر ذکر شده است. در فرهنگ آکسفورد مقابل کلمه‌ی PROOF چنین دیده می‌شود: راهی برای نشان دادن درستی یک عبارت یا صحیح بودن محاسبه در ریاضیات.
به عقیده دیویس و هرش، «اثبات، تأیید و تصدیق است؛ اثبات، احترام متقابل است؛ اثبات، مهر قدرت است؛ اثبات، آیین و بزرگ داشت قدرت دلیل خالص است.»
به عقیده‌ی تال، «اثبات، یعنی دقیق بودن در قبال دلایل و به دست آوردن نتایج.»
«اثبات، گفتمان ریاضی است، یعنی چیزی که ما به عنوان ادبیات ریاضی یا فرهنگ ریاضی می‌شناسیم» ونیز اثبات‌های رسمی و صوری ریاضی را «زبانی که ریاضیدانان با آن سخن می‌گویند» معرفی می‌کند. عده‌ای نیز پا را فراتر از این نهاده و معتقدند که شاید بتوان ریاضیات را «علم ثابت کردن»^[۹] نامید. اما به نظر می‌رسد، «تاریخ نشان می‌دهد از پیش از یونانی‌ها تا زمان حال، تبیین ریاضیدان‌ها از ریاضی و چیستی آن، نگاه آن‌ ها را به اثبات و دقت شکل داده است.» یعنی در حقیقت آن چه که اثبات نامیده می‌شود، بستگی به استفاده و پذیرش آن از سوی جامعه دارد.
در استانداردهای NCTM، از اثبات به عنوان «یک روش رسمی برای بیان انواع خاصی از استدلال و قضاوت ها» یاد شده است و تأکید شده که «تا پایان متوسطه، دانش‌آموزان باید با بهره بردن از استدلال‌های ریاضیاتی، اثبات رسمی بنویسند و ارزش چنین بحث‌هایی را حس کنند.»
آموزش گران ریاضی نقش‌هایی را که اثبات در ریاضی ارائه می‌کند به صورت زیر بیان کرده اند:
- تأیید درستی یک عبارت؛
- توضیح چرایی درستی یک عبارت؛